a: ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên AM*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên AN*AC=AH^2

=>AM*AB=AN*AC

b: Xét ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao

nên MA*MB=HM^2

ΔHAC vuông tại H có HN là đường cao

nên NA*NC=HN^2

Xét tứ giác AMHN có

góc AMH=góc ANH=góc MAN=90 độ

=>AMHN là hình chữ nhật

=>AH=MN

=>MN^2=AH^2=HB*HC

=>HB*HC=MA*MB+NA*NC

a) AM.AB = AN.AC
△AHB vuông tại H, đường cao HM, △AHC vuông tại H, đường cao HN
⇒AM.AB = AN.AC = AH^2 (hệ thức về cạnh và đường cao...)
b) HB.HC = MA.MB + NA.NC
- Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH
suy ra HB.HC = AH^2 (hệ thức về cạnh và đường cao...)
mà tứ giác AMHN là hcn, suy ra AH(^2) = MN(^2)
- △AHB vuông tại H, đường cao HM, △AHC vuông tại H, đường cao HN
suy ra MA.MB + NA.NC = HM(^2) + (HN^2)= (MN^2)
từ đó suy ra điều phải c/m
c) (HB/HC)=((AB/AC))(^2)
((AB/AC))(^2)=((AB^2)/AC(^2)) = (BH.BC/CH.BC)=(HB/HC)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\\AM\cdot MB=MH^2\end{matrix}\right.\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\\NA\cdot NC=NH^2\end{matrix}\right.\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

Xét tứ giác AMHN có 

\(\widehat{NAM}=\widehat{ANH}=\widehat{AMH}=90^0\)

Do đó: AMHN là hình chữ nhật

Xét ΔHNM vuông tại H có 

\(NM^2=HN^2+HM^2\)

hay \(HB\cdot HC=AM\cdot MB+AN\cdot NC\)

a: BC=BH+CH

=4+9=13

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(AH^2=4\cdot9=36\)

=>AH=6

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot CB\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{4\cdot13}=2\sqrt{13}\\AC=\sqrt{9\cdot13}=3\sqrt{13}\end{matrix}\right.\)

b: ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

ΔHAC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1), (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

Bài 2: 

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền AB,ta được:

\(AM\cdot AB=AH^2\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(AN\cdot AC=AH^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

b) Xét tứ giác AMHN có 

\(\widehat{NAM}=90^0\)

\(\widehat{ANH}=90^0\)

\(\widehat{AMH}=90^0\)

Do đó: AMHN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Suy ra: AH=MN

Ta có: \(AM\cdot AB+AN\cdot AC\)

\(=AH^2+AH^2\)

\(=2AH^2=2\cdot MN^2\)

câu c,d bài 2

a/

Xét tg vuông ABH

\(AH^2=AM.AB\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Xét tg vuông ACH có

\(AH^2=AN.AC\) (lý do như trên)

\(\Rightarrow AM.AB=AN.AC\)

b/

\(AN\perp AB;MH\perp AB\) => AN//MH

\(AM\perp AC;NH\perp AC\) => AM//NH

=> AMHN là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một)

Mặt khác \(\widehat{A}=90^o\)

=> AMHN là HCN => AM=NH; AN=MH (cạnh đối HCN)

Xét tg vuông ABH và tg vuông ACH có

\(\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\) )

=> tg ABH đồng dạng với tg ACH

\(\Rightarrow\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2=\dfrac{S_{ABH}}{S_{ACH}}\) (hai tg đồng dạng, tỷ số 2 diện tích bằng bình phương tỷ số đồng dạng)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2=\dfrac{\dfrac{1}{2}.AB.MH}{\dfrac{1}{2}.AC.NH}\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{MH}{NH}\) lập phương 2 vế

\(\dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{MH^2.MH}{NH^2.NH}\) (1)

Xét tg vuông ABH

\(MH^2=BM.AM\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ tử đỉnh góc vuông bằng tích giữa hai hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền) (2)

Xét tg vuông ACH, c/m tương tự

\(NH^2=CN.AN\) (3)

Thay (2) và (3) vào (1)

(1) \(\Leftrightarrow\dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{BM.AM.MH}{CN.AN.NH}\)

Mà AM = NH; AN = MH (cmt)

\(\Rightarrow\dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{BM}{CN}\)